Morphisms between Spaces of Leaves Viewed as Fractions

Après avoir transféré au cadre différentiable la notion algébrique d’équivalence de groupöıdes, nous montrons que les morphismes de la catégorie de fractions correspondante sont représentés par une unique fraction irréductible (calcul de fractions simplifié) que nous identifions aux morphismes de Connes–Skandalis–Haefliger entre espace de feuilles. Dans cette catégorie de fractions, le groupe fondamental de l’espace d’orbites au sens de Haefliger– van Est s’interprète comme réflecteur sur la sous-catégorie pleine des groupes discrets. The algebraic notion of equivalence between two groupoids is translated in the differentiable framework. Then we show that a morphism of the category of fractions in which these smooth equivalences are formally inverted may be represented by a unique irreducible fraction (simplified calculus of fractions, as in the elementary case of integers) which moreover may be identified with a generalized morphism in the sense of Connes–Skandalis–Haefliger between spaces of leaves. In this category of fractions, the fundamental group of the space of orbits in the sense of Haefliger–van Est is interpreted as a reflector onto the full sub-category of discrete groups.